Question

14．如图，一次函数y=kx+2的图形与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S_△COD=1，$\frac{CO}{OA}=\frac{1}{2}$．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数值大于反比例函数的值的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对于一次函数解析式，令x=0求出y的值，即可确定出D的坐标即可；
（2）由PA与OD平行，得到直角三角形PAC与直角三角形DOC相似，由相似得比例求出PA的长，再由三角形COD面积求出OC的长，进而确定出OA的长，确定出P坐标，即可求出一次函数与反比例函数解析式；
（3）由一次函数与反比例函数解析式，及P坐标，根据图象确定出满足题意x的范围即可．

解答 解：（1）在y=kx+2中，令x=0，得y=2，
∴点D的坐标为（0，2）；
（2）∵PA∥OD，
∴Rt△PAC∽Rt△DOC，
∵$\frac{CO}{OA}$=$\frac{1}{2}$，OD=2，
∴$\frac{OD}{PA}$=$\frac{CO}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
解得：PA=6，
由S_△COD=1，可得：$\frac{1}{2}$OC•OD=1，
解得：OC=1，
∴OA=2，
∴P（2，6），
把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=$\frac{m}{x}$，
则一次函数解析式为：y=2x+2和反比例函数解析式为：y=$\frac{12}{x}$（x＞0）；
（3）由图象知x＞2时，反比例函数y=$\frac{12}{x}$＜6，一次函数y=2x+2＞6，
则一次函数值大于反比例函数的值的x的取值范围x＞2．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．