Question

12．直线y=x-6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BO向O点移动（不考虑点E与B、O两点重合的情况），过点E作EF∥AB，交x轴于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠后，与点A对应的点记作点C，与点B对应的点记作点D，得到四边形CDEF，设点E的运动时间为t秒．
（1）画出当t=2时，四边形ABEF沿直线EF折叠后的四边形CDEF（不写画法）；
（2）在点E运动过程中，CD交x轴于点G，交y轴于点H，试探究t为何值时，△CGF的面积为$\frac{25}{8}$；
（3）设四边形CDEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质，可得CDEF与ABEF全等，根据全等，可得答案；
（2）根据轴对称，可得△CGF，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：当0＜t≤3时，根据三角形的面积公式，可得答案；当3＜t＜6时，根据图形割补法，可得答案．

解答 解：（1）如图1：

（2）如图2：
，
由折叠的性质，得∠C=∠A=∠COA=45°，AF=BE=CF=t，
S_△CFG=$\frac{1}{2}$CF•FG=$\frac{1}{2}$t²=$\frac{25}{8}$，
解得t=$\frac{5}{2}$，t=-$\frac{5}{2}$（不符合题意，舍）；


（3）分两种情况讨论：
①当0＜t≤3时，如图2：

四边形DCFE落在第一象限内的图形是△DFG，
∴S=$\frac{1}{2}$t²，
∵S=$\frac{1}{2}$t²，在t＞0时，S随t增大而增大，
∴t=3时，S_最大=$\frac{9}{2}$；
②当3＜t＜6时，如图3：
，
四边形DCFE落在第一象限内的图形是四边形CHOF，
∴S_{四边形CHOF}=S_△CGF-S_△HGO，
∴S=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{\;}$2（2t-6）²
=-$\frac{3}{2}$t²+12t-18
=-$\frac{3}{2}$（t-4）²+6，
∵a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴S有最大值，
∴当t=4时，S_最大=6，
综上所述，当t=4时，S最大值为6．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用了轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，三角形的面积公式，图形割补法是求面积的重要方法，分类讨论是解题关键，以防遗漏．