已知直线l与直线l外一点P.求作:过点P且垂直于直线l的垂线a．现给出一种作法.如下:步骤一:在直线l外取一点E.以点P为圆心.以线段PE为半径画弧.交直线l于点M.N,步骤二:分别以点M.N为圆心.大于$\frac{1}{2}$线段MN为半径画弧.过两弧的交点的直线a就是所求作的垂线．(1)按上述操作步骤.请成功作出过点P且垂直于直线l的垂线a．.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知直线l与直线l外一点P，求作：过点P且垂直于直线l的垂线a（尺规作图）．
现给出一种作法，如下：
步骤一：在直线l外取一点E，以点P为圆心，以线段PE为半径画弧，交直线l于点M，N；
步骤二：分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}$线段MN为半径画弧，过两弧的交点的直线a就是所求作的垂线．
（1）按上述操作步骤，请成功作出过点P且垂直于直线l的垂线a．（符合要求的一种图形），并说明理由．
（2）从你作图的过程中，思考要保证这种作法顺利作出，线段PE应该满足什么条件？
（3）为了避免这种情况产生，小明说只要在直线l上取点E好了，并给出了画法，画法对吗？请说明理由．
（作法：在直线l上取两点B、D，以P为圆心，以PD 为半径画圆交直线l于点E，以P为圆心，以PB 为半径画圆交直线l于点F，其中较小圆分别交PB，PF于点M、N，连接E、N和D、M，EN和MD相交于点H，则PH就是所求的垂线．）
（4）请在直线l上取点E，用直尺和圆规过点P且垂直于直线l的垂线a（与小明不同的方法，并要求尽可能简单）．

分析（1）分两种情况：i）点E、点P在直线l的异侧，如图1；ii）点E、点P在直线l的同侧，又分三种情况：相交、相离、相切分别作图；并说明理由，根据线段垂直平分线的判定得出结论；
（2）线段PE要大于点P到直线的距离；
（3）正确，分两种情况画图说明：点E和点D在直线PH的同侧（如图6）或异侧（如图5）；证明三角形全等，利用垂径定理得出结论；
（4）作两种方法：
方法一：根据直径所对的圆周角为90°；
方法二：作两个圆，根据线段垂直平分线的判定作图．

解答解：（1）根据点E、点P与直线l的位置关系可分为两种情况：
i）点E、点P在直线l的异侧，如图1所示，
ii）点E、点P在直线l的同侧，再根据点P到直线l 的距离与半径PE长度的比较，圆P与直线l的位置关系可分为三种情况：
①圆P与直线l相交，且有两个交点，如图2；
②圆P与直线l相交，且有一个交点，如图3；
③圆P与直线l相离，如图4．

理由如下：
图1，
解法：根据第二步作法可得直线a是线段MN的中垂线a
∵半径PM=PN；
∴点P在线段MN的中垂线；
∴点P在直线a上．
图2，
解法：同第一题解法一样．
图3，
圆P与直线l交点M，N重合，不符合要求，因此不予讨论．
图4，
中的圆P不能与直线l相交于点M、N两点，因此不能做出直线a．

（2）：根据第一题的情况分析得出线段PE要大于点P到直线的距离．

（3）：正确．根据点E和点D在直线PH的同侧（如图6）或异侧（如图5）两种画法如下：
图5理由：
连接MN，可得MN∥BF，
∴∠MNE=∠NED，
∴$\widehat{ME}$=$\widehat{DN}$，
∴∠NMD=∠MNE，
∴MH=NH，
由△PMH≌△PNH，
∴∠MPH=∠NPH，
∴PH平分弧MN，即PH垂直ED，
所以PH就是所求的垂线，
图⑥理由：同图⑤证明．
（4）：第一种方法，如图7：
原理：利用直径所对的圆周角是直角．
即直径PE所对的∠PBE是直角．
作法：在直线l上取一点E，连接PE，取线段PE中
点O，以点O为圆心，线段PO为半径作圆，交直线
l于点B，作直线PB就是所求的直线a．
第二种方法，如图8：
原理：由半径PE=BE可得点E在线段PB的中垂
线上，同理可得点A在线段BP的中垂线上，所以
直线l是线段BP的中垂线，即直线BP就是所求
的直线a．
作法：在直线l上取点E和点A，然后以点E为圆心，线段PE为半径作圆，再以点A为圆心，线段PA为半径作圆，两圆相交于点P和点B．直线BP就是所求的直线a．