Question

15．已知关于x的一元一次方程x²-（5a+3）x+4（a²-1）=0的两实根分别是一个直角三角形的两条直角边，该直角三角形的面积是70，求此三角形的三边长．

Answer 1

分析 设方程x²-（5a+3）x+4（a²-1）=0的两实根m、n分别是一个直角三角形的两条直角边，由三角形的面积得出$\frac{1}{2}$mn=70，由根与系数的关系得出m+n=5a+3，mn=4（a²-1），得出关于a的方程求得答案即可，代入方程求得方程的解，勾股定理求得斜边即可．

解答 解：设关于x的方程x²-（5a+3）x+4（a²-1）=0的两个根为m和n，
则m+n=5a+3，mn=4（a²-1），
∵$\frac{1}{2}$mn=70，
∴4（a²-1）=140，
解得a₁=6，a₂=-6，
∵m+n=5a+3＞0，a＞-$\frac{3}{5}$，
∴a=6，
∴原方程为x²-33x+140=0，
解得：x₁=5，x₂=28，
则$\sqrt{{5}^{2}+2{8}^{2}}$=$\sqrt{809}$，
此三角形的三边长分别为5，28，$\sqrt{809}$．

点评 此题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了三角形的面积计算方法，解一元二次方程，勾股定理等知识．