Question

15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F点，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D点．若BD=3cm，求线段AC的长．

Answer 1

分析 根据AAS证明△DBC≌△ECA，得出BD=CE，再根据AE是BC边上的中线，得出BC，最后根据AC=BC即可得出答案．

解答 解：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
在△DBC和△ECA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AEC}\\{∠ACE=∠CBD}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△ECA（AAS），
∴BD=EC，
又∵EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴BD=EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC，且BD=3cm．
∴AC=6cm．

点评 此题考查了全等三角形的性质与判定，用到的知识点是三角形的中线、全等三角形的判定与性质、余角的性质，关键是在较复杂的图形中找出全等的三角形，利用AAS证出△DBC≌△ECA．