Question

某校组织了20次天文观测活动，每次有5名学生参加，任何2名学生都至多同时参加过一次观测．
证明：参加过这些观测活动的学生数不少于21名．

Answer 1

分析：设出参加观测活动次数最多的学生参加了a次观测，共有x名学生参加过这些观测活动，根据任何2名学生都至多同时参加过一次观测，列出不等式，再由观测活动次数最多的学生观测的次数不小于每名学生平均观测次数列出另一个不等式，两个不等式联立，根据实际解答即可．

解答：证明：设参加观测活动次数最多的学生A参加了a次观测，共有x名学生参加过这些观测活动．
由于有A参加的每次观测活动中，除了A，其他学生各不相同（这是因为任何2名学生都至多同时参加过一次观测），
故x≥4a+1．①
另一方面，学生A参加观测的次数不小于每名学生平均观测次数．
即a≥

20×5

x

．②
综合①、②，得x≥

400

x

+1，x²-x-400≥0．即x（x-1）≥400．
因x（x-1）是相邻两个自然数的乘积，经试算可得x≥21．
即参加过这些观测活动的学生数不少于21人．

点评：此题要设出参数，再根据容斥原理列出不等式，联立不等式组，求得问题的解，总体体现了时代性，适应了时代的要求．