Question

2．如图，D是⊙O弦BC的中点，A是弧BC上一点，OA与BC交于点E，若AO=8，BC=12，EO=$\sqrt{2}$BE，则线段OD=2$\sqrt{7}$，BE=4．

Answer 1

分析 连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD=$\frac{1}{2}$BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可得出结论；在Rt△EOD中，设BE=x，则OE=$\sqrt{2}$x，ED=6-x，再根据勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）连接OB．
∵OD过圆心，且D是弦BC中点，
∴OD⊥BC，BD=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BOD中，OD²+BD²=BO²．
∵BO=AO=8，BD=6．
∴OD=2$\sqrt{7}$；
在Rt△EOD中，OD²+ED²=EO²．
设BE=x，则OE=$\sqrt{2}$x，ED=6-x．
（2$\sqrt{7}$）²+（6-x）²=（$\sqrt{2}$x）²，
解得x₁=-16（舍），x₂=4．
∴ED=2，
∴BE=BD-ED=6-2=4．
故答案是：2$\sqrt{7}$；4．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．