Question

如图，在平行四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若DE=DC=EC，求AD：DC的值．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）由在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，易证得△ABE≌△CDF，即可得BE∥DF，BE=DF，则可证得四边形BFDE是平行四边形；
（2）首先设OE=x，由DE=DC=EC与平行四边形的性质，表示出AF与DF的长，再由勾股定理即可求得AD：DC的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，BE∥DF，
在△ABE和△CDF中，

∠BAE=∠DCF ∠AEB=∠CFD AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）解：设OE=x，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴OF=OE=x，
∵DE=DC=EC，DF⊥AC，
∴FC=EF=2x，
∴DF=

CD2-FC2

=2

3

x，
∴CD=EC=EF+FC=4x，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=FC=2x，
∴AF=AE+EF=4x，
在△ADF中，AD=

AF2+DF2

=2

7

x，
∴AD：DC=2

7

x：4x=

7

：2．

点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．