Question

19．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PB的和最小，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，利用待定系数法求二次函数的关系式，并用配方法求其顶点D的坐标；
（2）如图2，作对称轴后将四边形分成了两个三角形和一个梯形，计算其面积和即可；
（3）根据最短路径问题可知：点B的对称点与点A的连线与对称轴的交点就是点P，由题意可知，点B与点C关于对称轴对称，所以AC与对称轴的交点就是P点，先求直线AC的解析式，把x=2代入即可．

解答 解：（1）如图1，把A（0，-6）、B（-2，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{\frac{1}{2}×（-2）^{2}-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x²-4x+4-4）-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
∴抛物线的函数关系式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，顶点D（2，-8）；
（2）如图2，根据对称性得C（6，0），
作抛物线的对称轴，交x轴于点E，
∴四边形ABCD的面积=S_△OAB+S_△DEC+S_梯形OADE，
=$\frac{1}{2}$OB•OA+$\frac{1}{2}$EC•ED+$\frac{1}{2}$（OA+ED）•OE，
=$\frac{1}{2}$×2×6+$\frac{1}{2}$×（6-2）×8+$\frac{1}{2}$（6+8）×2，
=6+16+14，
=36；
（3）如图2，连接AC交对称轴于一点，这一点就是P点，且这时PA+PB为最小，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（0，-6）和C（6，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=x-6，
当x=2时，y=2-6=-4，
∴P（2，-4）．

点评 本题是二次函数的综合题，是常考题型；考查了利用待定系数求二次函数和一次函数的解析式及最短路径和面积问题；求多边形的面积时通常利用面积和或面积差求解；对于最短路径：可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．