Question

已知：函数y=-

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4

x²+x+a的图象的最高点在x轴上．
（1）求a；
（2）如图所示，设二次函数y=-

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4

x²+x+a图象与y轴的交点为A，顶点为B，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点C关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=-

1

4

x²+x+a上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据判别式得到关于a的方程，即可得到a的值；
（2）由于PB是圆的直径，且AB切圆于B，得PB⊥AB，由此可证得△PBC₁∽△BAO，根据两个相似三角形的对应直角边成比例，即可得到PC₁、BC₁的比例关系，可根据这个比例关系来设P点的坐标，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标；
（3）连接CM，设CM与PB的交点为Q，由于C、M关于直线PB对称，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；过M作MD⊥x轴于D，取CD的中点E，连接QE，则QE是Rt△CMD的中位线；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易证得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它们的正切值都等于

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2

（在（2）题已经求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已经求出了CB的长，根据CE、BE的比例关系，即可求出BE、CE、QE的长，由此可得到Q点坐标，也就得到M点的坐标，然后将点M代入抛物线的解析式中进行判断即可．

解答：解：（1）依题意有△=1+a=0，
解得a=-1；

（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C₁；
∵y=-

1

4

x²+x-1顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，-1），
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B，
∴PB⊥AB，则∠PBC₁=∠BAO
∴Rt△PC₁B∽Rt△BOA
∴

PC1

OB

=

BC1

AO

，故PC₁=2BC₁，
设P点的坐标为（x，y），
∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是钝角，
∴x＞2
∴BC₁=x-2，PC₁=2x-4，
即y=4-2x，
∴P点的坐标为（x，4-2x）
∵点P在二次函数y=-

1

4

x²+x+1的图象上，
∴4-2x=-

1

4

x²+x-1，
解得：x₁=-2，x₂=10
∵x＞2，
∴x=10，
∴P点的坐标为：（10，-16）；

（3）点M不在抛物线y=-

1

4

x²+x+a上，
由（2）知：C₁为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ，
∴QE∥MD，QE=

1

2

MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=

1

2

，
CE=2QE=2×2BE=4BE，
又∵CB=8，
故BE=

8

5

，QE=

16

5

，
∴Q点的坐标为（

18

5

，-

16

5

）
可求得M点的坐标为（

14

5

，-

32

5

）
∵-

1

4

×（

14

5

）²+

14

5

-1=-

144

25

≠-

32

5

，
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=-

1

4

x²+x+a上．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，解直角三角形的应用等重要知识．