Question

已知：如图，函数y=

4

x

的图象和两条直线y₁=x，y₂=

1

2

x在第一象限内分别交于P₁和P₂两点，过P₁和P₂两点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A₁、B₁和A₂、B₂．
（1）求矩形P₁A₁OB₁和P₂A₂OB₂的周长，并比较它们的大小；
（2）若按上述步骤继续作直线y_k=

1

k

x（k≥3的整数），类似地可以得到矩形P_kA_kOB_k，请你直接写出k=

 

时，矩形P_kA_kOB_k的周长是有理数（只需要写出一个即可）．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）分别解两个方程组

y= 4 x y=x

、

y= 4 x y= 1 2 x

可确定点P₁的坐标为（2，2），点P₂的坐标为（2

2

，

2

）；再计算出矩形OQ₁P₁R₁的周长=2（2+2）=8，矩形OQ₂P₂R₂的周长=2（2

2

+

2

）=6

2

，然后利用平方法比较8与6

2

的大小即可．
（2）当4k的值是一个数的平方时，矩形P_kA_kOB_k的周长是有理数．

解答：解：（1）解方程组

y= 4 x y=x

得

x=2 y=2

或

x=-2 y=-2

，所以点P₁的坐标为（2，2）；
解方程组

y= 4 x y= 1 2 x

得

x=2 2 y= 2

或

x=-2 2 y=- 2

，所以点P₂的坐标为（2

2

，

2

）；
所以矩形OQ₁P₁R₁的周长=2（2+2）=8，矩形OQ₂P₂R₂的周长=2（2

2

+

2

）=6

2

，
因为8²=64，（6

2

）²=72，
所以矩形OQ₁P₁R₁的周长比矩形OQ₂P₂R₂的周长小．
（2）当4k的值是一个数的平方时，矩形P_kA_kOB_k的周长是有理数．
故答案为4．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了矩形的周长．