题目内容

设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c= $数学公式$ ab-（a+b），求满足条件的直角三角形的个数．

解：由勾股定理得，c²=a²+b²．
又∵c= $\text{[math]}$ ab-（a+b），得 $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ ．
整理得，ab-6（a+b）+18=0，即（a-6）（b-6）=18，
∵a，b均为正整数，不妨设a＜b，
可得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
可解出 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴满足条件的直角三角形有3个．
故答案为：3．
分析：先根据此三角形是直角三角形，利用勾股定理把原式化为（a-6）（b-6）=18，再根据a，b均为正整数，不妨设a＜b，可得出关于a、b的二元一次方程，求出a、b、c的对应值即可．
点评：本题考查的是非一次不定方程及勾股定理，解答此题的关键是先利用勾股定理把原式化为两个因式积的形式，再根据a，b均为正整数进行解答．

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定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.

结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：

甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、____个、_____个大小不同的内接正方形.

乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.

丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.

任务：（1）填充甲同学结论中的数据；

（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；

（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明。

（如图，设锐角△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.若你对本小题证明有困难，可直接用“”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.

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（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明
（如图，设锐角△ABC的三条边分别为

，三条边上的对应高分别为

，内接正方形的边长分别为

.若你对本小题证明有困难，可直接用“

”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.

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乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.
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乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大。
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小。
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明。
（如图，设锐角△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a>b>c，三条边上的对应高分别为h_a，h_b，h_c，内接正方形的边长分别为x_a，x_b，x_c，若你对本小题证明有困难，可直接用“

”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）。