Question

7．己知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，E是CB上一点，且CE=AC，EF⊥CD，垂足为F．
（1）求证：AD=CF；
（2）若G是AE的中点，连接GD、GF，求证：GD⊥GF．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件证明Rt△ADC≌Rt△CFE，根据全等三角形的对应边相等即可解答；
（2）连接CG，得到△ACE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到CG⊥AE，∠CAG=∠ECG=45°，CG=AG=GE，再证明△GAD≌△GCF，得到∠AGD=∠CGF，根据CG⊥AE，得到∠AGF+∠CGF=90°，利用等量代换即可解答．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠ECF=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠ECF，
在Rt△ADC和Rt△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ECF}\\{∠ADC=∠CFE=90°}\\{AC=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△ADC≌Rt△CFE，
∴AD=CF．
（2）如图，连接CG，

∵∠ACB=90°，G为AE的中点，AC=CE，
∴CG⊥AE，∠CAG=∠ECG=45°，CG=AG=GE，
∵Rt△ADC≌Rt△CFE，
∴∠CAD=∠ECF，
∵∠CAG+∠GAD=∠CAD，∠ECG+∠GCF=∠ECF，
∴∠GAD=∠GCF，
在△GAD和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CG}\\{∠GAD=∠GCF}\\{AD=CF}\end{array}\right.$
∴△GAD≌△GCF，
∴∠AGD=∠CGF，
∵CG⊥AE，
∴∠AGC=90°，
∴∠AGF+∠CGF=90°，
∴∠AGF+∠AGD=90°，
即∠DGF=90°，
∴GD⊥GF．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理和判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等．