Question

10．已知反比例函数y=$\frac{k-8}{x}$（k≠8）的图象经过点A（-1，6）．
（1）求k的值；
（2）如图，过点A作直线AC与函数y=$\frac{k-8}{x}$的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接OA，过y轴的正半轴上的一点D作直线DE∥x轴，分别交线段AC、OA于点E、F，设OD=m，EF=n，求n与m之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出k的值；
（2）根据AB=2BC结合点C、A的纵坐标即可得出点B的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再令直线AB解析式中y=0，求出x值，即可得出点C的坐标；
（3）利用待定系数法求出直线OA的坐标，由OD=m，DE∥x轴，即可找出点E、F的坐标，进而可得出n关于m的函数关系式．

解答 解：（1）将点A（-1，6）代入y=$\frac{k-8}{x}$中，
得：6=8-k，解得：k=2．
（2）∵AB=2BC，点A的纵坐标为6，点C的纵坐标为0，
∴点B的纵坐标为2，
∵点B为反比例函数y=-$\frac{6}{x}$上的图象，
∴B（-3，2）．
设直线AB的解析式为y=ax+b，
将A（-1，6）、B（-3，2）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=6}\\{-3a+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=2x+8．
令y=2x+8中y=0，则x=-4，
∴C（-4，0）．
（3）设直线OC的解析式为y=cx，
将点A（-1，6）代入y=cx中，得：c=-6，
∴直线OC的解析式为y=-6x．
∵OD=m，DE∥x轴，
∴E（$\frac{m-8}{2}$，m），F（-$\frac{m}{6}$，m），
∴n=EF=-$\frac{m}{6}$-$\frac{m-8}{2}$=-$\frac{2}{3}$m+4（0＜m＜6）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出k值；（2）求出直线AB的解析式；（3）找出点E、F的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．