Question

7．如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E．

Answer 1

分析 （1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．
（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可（以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求）．

解答 解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）作图如下：

点评 本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解全相似点的定义，判断出∠CED=90°，从而确定作以CD为直径的圆是解题的关键．