Question

如图，点A在反比例函数y=

k

x

（x＜0）的下方．过点A作AB⊥x轴于点B，交反比例函数y=

k

x

的图象于点D，D为AB的中点，点C的坐标为（-4，0）．直线EF分别与x轴、y轴、反比例函数的图象交于点F，E，G，OF=1，OE=2．若4S_△OEF=S_△BAC ，BC=2．
（1）求k的值及直线AC的解析式；
（2）求∠AGE的度数；
（3）求五边形OCAGE的周长．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）先求出点A的坐标，再得出点D的坐标，即可确定k的值，用待定系数法求出直线AC的解析式；
（2）作直线GM⊥y轴，垂足为M，交BA的延长线于N，连接AE、DE，先用待定系数法求出直线EF的解析式，再求出点G的坐标，根据勾股定理求出AE、AG、EG的平方，再根据勾股定理的逆定理判定△AGE是直角三角形，即可得出结论；
（3）先求出OC、AC的长度，即可求出求五边形OCAGE的周长．

解答：解：（1）∵S_△OEF=

1

2

OE•OF=

1

2

×2×1=1，4S_△OEF=S_△BAC ，
∴S_△BAC=

1

2

AB•BC=4，
∵BC=2，
∴AB=4，
∴OB=6，
∴A（-6，-4），
∵D为AB的中点，AB⊥x轴，
∴D（-6，-2），
∴k=（-6）×（-2）=12，
∴反比例函数为y=

12

x

；
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-6，-4），C（-4，0）代入得：

-6k+b=-4 -4k+b=0

解得：k=2，b=8，
∴直线AC的解析式为y=2x+8；
（2）作直线GM⊥y轴，垂足为M，交BA的延长线于N，连接AE、DE，如图所示：
设直线EF的解析式为y=kx+b，
把E（0，-2），F（1，0）代入得

b=-2 k+b=0

 
解得：k=2，b=-2，
∴直线EF的解析式为y=2x-2，
解方程组

y= 12 x y=2x-2

  得：

x=3 y=4

 或

x=-2 y=-6

，
∵点G在第三象限，
∴G（-2，-6），
根据题意得：AD=2，DE=6，EM=4，GM=2，GN=4，AN=2，
根据勾股定理得，AE²=AD²+DE²=2²+6²=40，AG²=AN²+GN²=2²+4²=20，EG²=GM²+EM²=2²+4²=20，
∴AG²+EG²=40=AE²，
∴△AGE是直角三角形，
∴∠AGE=90°；
（3）∵AC=

22+42

=2

5

，OC=4，AG=2

5

，EG=2

5

，
∴五边形OCAGE的周长=OC+AC+AG+EG+OE=4+2

5

+2

5

+2

5

+2=6+6

5

．

点评：本题考查了反比例函数、一次函数解析式的求法、直角三角形的判定方法以及勾股定理的运用；本题难度较大，综合性强，有利于培养学生综合应用函数知识和直角三角形的知识进行推理和计算的能力．