Question

16．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x≠0）的图象上．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x≠0）的解析式和点B的坐标；
（2）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE（点O与点D是对应点），补全图形，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A（$\sqrt{3}$，1）代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（-$\sqrt{3}$，-1），即可求解．

解答 解：（1）∵点A（ $\sqrt{3}$，1）在反比例函数 y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$．

∵A（ $\sqrt{3}$，1），
∴OA=2，
由OA⊥OB，AB⊥x轴，易证△OC∽△ABO，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{AC}{AO}$，即 $\frac{2}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=4，
∴B（$\sqrt{3}$，-3）；

（2）∵OB=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2 $\sqrt{3}$，
∴sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABO=30°．
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，
∴BO=BD=2 $\sqrt{3}$，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，
∠ABD=30°+60°=90°．
又BD-OC=2 $\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，BC-DE=4-1-2=1，
∴E（-$\sqrt{3}$，-1），
∵-$\sqrt{3}$×（-1）=$\sqrt{3}$，
∴点E在该反比例函数的图象上．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，正确求出解析式是解题的关键．