Question

13．已知关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+$\frac{1}{2}$m-3=0．
（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）若这个方程的两个实数根x₁、x₂满足|x₁-x₂|=4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式△=（m-3）²+3＞0，即可得到结果；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把|x₁-x₂|转化成$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，再代入求解即可．

解答 解：（1）∵△=（m-2）²-4×（$\frac{1}{2}$m-3）=（m-3）²+3＞0，
∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁+x₂=2-m，x₁．x₂=$\frac{1}{2}$m-3，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（2-m）^{2}-4（\frac{1}{2}m-3）}$=4，
解得：m₁=0，m₂=6．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．