Question

19．如图，已知点D在∠ABC内部，DE⊥BC，垂足为E，∠BAD+∠BCD=180°．
（1）若BD为∠ABC的平分线，求证：AD=CD；
（2）若AD=CD，求证：BD为∠ABC的平分线．

Answer 1

分析 （1）若要证明DC=AD直接证明有一定的难度，所以这时应给它们找一个中介线段，在BC上截取BE=BA，根据已知条件证明△BAD≌△BED，所以DA=DE，再证DE=DC，即AD=CD；
（2）过点D作DF⊥BA与点F，证明DF=DE，由角平分线性质定理的逆定理即可得到BD为∠ABC的平分线．

解答 解：（1）如图，在BC上截取BE=BA，连接DE，

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△BAD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BE}\\{∠ABD=∠EBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△BED（SAS），
∴DA=DE，∠A=∠BED，
∵∠BED+∠DEC=180°，∠A+∠C=180°，
∴∠C=∠DEC，
∴DE=DC，
∴DC=AD；
（2）

过点D作DF⊥BA与点F，
∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD+∠FAD=180°，
∴∠FAD=∠BCD，
在△ADF和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠BCD}\\{∠DFA=∠DEC=90°}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE，
∴DF=DE，
∴BD为∠ABC的平分线．

点评 本题考查了等腰三角形的判断方法和证明三角形全等的方法，解决本题的关键是作出辅助线．