如图.已知等边三角形ABC的边长为$2\sqrt{3}$.它的顶点A在抛物线y=x2-2$\sqrt{3}$x上运动.且始终使BC∥x轴．(1)当顶点A运动至原点O时.顶点C是否在该抛物线上?(2)△ABC在运动过程中被x轴分成两个部分时.若上.下两个部分的面积之比为1:8(即S上:S下=1:8).求此时顶点A的坐标,(3)△ABC在运动过程中.当点B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，已知等边三角形ABC的边长为$2\sqrt{3}$，它的顶点A在抛物线y=x²-2$\sqrt{3}$x上运动，且始终使BC∥x轴．
（1）当顶点A运动至原点O时，顶点C是否在该抛物线上？
（2）△ABC在运动过程中被x轴分成两个部分时，若上、下两个部分的面积之比为1：8（即S_上：S_下=1：8），求此时顶点A的坐标；
（3）△ABC在运动过程中，当点B在坐标轴上时，求此时顶点C的坐标．

分析（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，如图所示．由等边三角形的性质可以求出AD的值，从而求出C的坐标．
（2）过点A作AD⊥BC于点D，设出A点的坐标，由条件表示出AD的值，再由三角函数求出AD的值，从而建立等量关系，就可以求出A的坐标．
（3）B点在坐标轴上有两种情况，当B点在x轴上时，则A的纵坐标为3，代入抛物线的解析式求出A的横坐标就可以求出C的坐标；当B点y轴上时，可以求出A点的横坐标$\sqrt{3}$，代入抛物线的解析式可以求出A点的纵坐标，从而求出C点的坐标．

解答解：（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，如图所示．
∵BC∥x轴，BC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴C点的坐标为（$\sqrt{3}$，-3），
∵当x=$\sqrt{3}$时，y=（$\sqrt{3}$）²-2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=-3，
∴当顶点A运动至与原点重合时，顶点C在抛物线上．

（2）过点A作AD⊥BC于点D，
设点A的坐标为（x，x²-2$\sqrt{3}$x）．
∵BC∥x轴，
∴x轴上部分的三角形∽△ABC，
∵S_上：S_下=1：8，
∴S_上：S_△ABC=1：9，
∴AD=3（x²-2$\sqrt{3}$x），
∵等边△ABC的边长为2$\sqrt{3}$，
∴AD=AC•sin60°=3，
∴3（x²-2$\sqrt{3}$x）=3，
∴x²-2$\sqrt{3}$x-1=0，
解方程，得 x=$\sqrt{3}$±2，
∴顶点A的坐标为（$\sqrt{3}$+2，1）或（$\sqrt{3}$-2，1）．

（3）当顶点B落在x轴时，则A点纵坐标为3，
∴3=x²-2$\sqrt{3}$x，
∴x=$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$或$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，
∴顶点C的坐标为（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，0），
当顶点B落在y轴时，则A点横坐标为$\sqrt{3}$，
∴y=x²-2$\sqrt{3}$x=-3，
∴顶点C的坐标为（2$\sqrt{3}$，-6），
综上所述，顶点C的坐标为（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$，-6）．