Question

19．将两个全等的Rt△ABC和Rt△DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③．你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案；
（2）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案；
（3）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案．

解答 （1）证明：如图①所示，连接BF，
∵BC=BE，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（2）解：（1）中的结论仍然成立；理由如下：
如图②所示：
延长DE交AC与点F，连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（3）解：（1）中的结论不成立，AF-EF=DE；理由如下；
如图③所示：连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF-FC=AC=DE，
∴AF-EF=DE．

点评 此题是三角形综合题目，主要考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，根据已知得出全等三角形是解题关键．