Question

如下图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC。
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG。

Answer 1

解：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BCA=90°，
而∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠BCA=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线；
（2）连AD，如下图，

∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠ADE+∠EDB=90°，∠5+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠5，
∵D是弧AC的中点，即弧CD=弧CB，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3+∠ADF，∠2=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴DF=DG。