题目内容

如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16厘米，AD=6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：
（1）两动点经过几秒时，使得BP=CQ；
（2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的
5
12
；
（3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）．
考点：一元二次方程的应用
专题：几何动点问题
分析：（1）等量关系为：AB-AP=CQ，即16-2t=t；
（2）四边形PBCQ为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间；
（3）需要分类讨论：BP=QP，BP=BQ和QP=BQ三种情况．
解答：解：（1）设两动点经过t秒时，使得BP=CQ．
则16-2t=t，
解得 t=
16
3
．
答：两动点经过
16
3
秒时，使得BP=CQ；

（2）设两动点经过x秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的
5
12
．则
1
2
（CQ+BP）•BC=
5
12
AB•AD，即
1
2
×（x+16-2x）×6=
5
12
×16×6，
解得 x=
8
3
．
答：两动点经过
8
3
秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的
5
12
；

（3）两动点经过k（0≤k≤8）秒，使得△BQP是等腰三角形
①当BP=QP时，过点Q作QH⊥BP于点H．
则PQ=
(BP-CQ)2+HQ2
，
所以 16-2k=
(16-2k-k)2+62
，
整理 得5k2-32k+36=0，
解得 k1=
16+2
19
5
，k2=
16-2
19
5
；
②当BP=BQ时，BQ=
BC2+CQ2
．
则16-2k=
62+k2
，
整理 得3k2-64k+220=0．
该方程无解；
③当QP=BQ时，
(BP-CQ)2+HQ2
=
BC2+CQ2
，即
(16-2k-k)2+62
=
62+k2
，
整理 得，（16-3k）2=k2，
解得 k3=4，k4=8（与点B重合，舍去）．
综上所述，当两动点经过
16+2
19
5
秒或
16-2
19
5
秒或4秒时，使得△BQP是等腰三角形
点评：本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．
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