Question

13．已知二次函数y=-x²+2x+1的顶点为A，与y轴交点为B，动点P（x，0）在x轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（　　）

• A． （-1，0）
• B． （1，0）
• C． （-$\frac{1}{3}$，0）
• D． （$\frac{1}{3}$，0）

Answer 1

分析 先求出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系即可得出结论．

解答 解：∵y=-x²+2x+1=-（x²-2x）+1=-（x-1）²+2，
∴A（1，2）．
∵当x=0时，y=1，
∴B（0，1）．
令直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=2\\ b=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=1\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+1．
∵|AP-BP|≤AB，
∴当点P在直线AB上时，线段AP与线段BP之差最大，
∵P（x，0），
∴x+1=0，解得x=-1，
∴P（-1，0）．
故选A．

点评 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标及二次函数与坐标轴交点的特点是解答此题的关键．