Question

1．如图1，已知锐角△ABC，BE、CF分别是高线，在高BE上截取BM=AC，在高CF延长线上截取CN=AB，连AM、AN．
（1）求证：①AM=AN；②∠MAN=90°．

（2）若将“锐角△ABC”改为“钝角△ABC”，如图2，其它条件不变，上述结论是否仍成立？请画图并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）三角形全等条件中必须是三个元素，本题已经有两条对应边相等，只要再找到它们的夹角相等就可以了；
（2）根据SAS证明△ACN≌△MBA，运用全等三角形的性质作出判断．

解答 （1）证明：∵BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，
∴∠ABM+∠BAC=90°，
∠NCA+∠BAC=90°，
∴∠NCA=∠ABM，
在△NCA和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{NC=AB}\\{∠NCA=∠ABM}\\{CA=BM}\end{array}\right.$，
∴△NCA≌△ABM．
∴AN=AM，∠BAM=∠ANC，
∵∠ANC+∠NAB=90°，
∴∠BAM+∠NAB=90°，
∴∠MAN=90°；
（2）如图，

成立，∵BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，
∴∠ABM+∠BAE=90°，
∠NCA+∠BAE=90°，
∴∠NCA=∠ABM，
在△NCA和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{NC=AB}\\{∠NCA=∠ABM}\\{CA=BM}\end{array}\right.$，
∴△NCA≌△ABM．
∴AN=AM，∠BAM=∠ANC，
∵∠ANC+∠NAF=90°，
∴∠BAM+∠NAF=90°，
∴∠MAN=90°．

点评 本题重点考查了三角形全等的判定定理中的SAS定理的运用，要在图形上找出全等的三角形，再寻找条件进行证明．