题目内容

10．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求，在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市，问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）有人说只需要选择3个安装点，就能使这些点安装了这种转发安置后，可以达到预设的要求？你认为是否可以，并说明理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

分析 （1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合；
（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线能辐射的最大直径为31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处．

解答 解：（1）如图1，将正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，
此时，每个小正方形的对角线长为$\frac{1}{2}$×30$\sqrt{2}$=15$\sqrt{2}$＜31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，
故安装4个这种装置可以达到预设的要求；

（2）可以．理由如下：
将原正方形分割成如图2中的3个矩形，
使得BE=31，H是CD的中点（或OD=OC）．
将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，
则AE=$\sqrt{3{1}^{2}-3{0}^{2}}$，DE=30-$\sqrt{61}$，
∴OD=$\sqrt{（30-\sqrt{61}）^{2}+1{5}^{2}}$≈26.8＜31，
即如此安装三个这个转发装置，也能达到预设要求．

点评 考查应用与设计作图；解决本题的关键是先利用常见图形得到合适的计算方法和思路，然后根据类比方法利用覆盖的最大距离得到相类似的解．

练习册系列答案
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