Question

如图，已知Rt△ABC中，BC=9，AB=12，过点A作AE⊥AB，且AE=16，连接BE交AC于点P．
（1）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切；
（2）求PA的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）作AH⊥BE于H，如图，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AC=15，再在Rt△ABE中计算出BE=20，利用面积法可计算出AH=

48

5

，然后根据平行线分线段成比例定理，有AE∥BC得到

AP

PC

=

AE

BC

，利用比例性质可计算出AP=

48

5

，则AH=AP，原式可根据切线的判定方法得到BE与⊙A相切．
（2）作AH⊥BE于H，如图，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AC=15，再在Rt△ABE中计算出BE=20，利用面积法可计算出AH=

48

5

，然后根据平行线分线段成比例定理，有AE∥BC得到

AP

PC

=

AE

BC

，利用比例性质可计算出AP．

解答：解：（1）作AH⊥BE于H，如图，在Rt△ABC中，∵BC=9，AB=12，
∴AC=

BC2+AB2

=15，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，BE=

AB2+AE2

=20，
∵

1

2

AH•BE=

1

2

AB•AE，
∴AH=

12×16

20

=

48

5

∴AE∥BC，
∴

AP

PC

=

AE

BC

，
∴

AP

AP+PC

=

AE

AE+BC

，即

AP

15

=

16

25

，
∴AP=

48

5

，
∴AH=AP，
∴BE与⊙A相切．
（2）AP=

48

5

．

点评：本题考查了切线的判定：如果圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线为圆的切线．也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理．