题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点A和点B间的距离为2，若将二次函数y=ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移3个单位时，则它恰好过原点，且与x轴两交点间的距离为4．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）在二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为D，在x轴上是否存在这样的点F，使得∠DFB=∠DCB？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）在二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为D，在x轴上是否存在这样的点F，使得∠DFB=∠DCB？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据平移后的函数图象过原点且与x轴两交点间的距离为4，可得平移后的函数图象与x轴两交点坐标为（0，0），（4，0）或（0，0），（-4，0），再由它与x轴两交点间的距离为2，且点A 在点B的左侧，可得A、B的坐标，代入三点坐标可得抛物线解析式；
（2）先求出直线AC的函数解析式，直线AC与直线x=2的交点P就是到B、C两点距离之差最大的点，将x=2代入，求出y，继而可得点P坐标；
（3）抛物线y=-x2+4x-3的顶点D的坐标为（2，1），设对称轴与x轴的交点为点E，从而将问题转化为求点EF的坐标，求出EF的长度，即可得出F的坐标．
（2）先求出直线AC的函数解析式，直线AC与直线x=2的交点P就是到B、C两点距离之差最大的点，将x=2代入，求出y，继而可得点P坐标；
（3）抛物线y=-x2+4x-3的顶点D的坐标为（2，1），设对称轴与x轴的交点为点E，从而将问题转化为求点EF的坐标，求出EF的长度，即可得出F的坐标．
解答：解：（1）∵平移后的函数图象过原点且与x轴两交点间的距离为4，
∴平移后的函数图象与x轴两交点坐标为（0，0），（4，0）或（0，0），（-4，0），
∴它的对称轴为直线x=2或x=-2．
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的正半轴交于A、B两点，
∴抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=2对称，
∵它与x轴两交点间的距离为2，且点A 在点B的左侧．
∴其图象与x轴两交点的坐标为A（1，0）、B（3，0）．
由题意知，二次函数y=ax2+bx+c的图象过C（0，-3），
∴设y=ax2+bx-3，
∴
，
解得：
．，
∴二次函数的表达式为y=-x2+4x-3．
（2）∵点B关于直线x=2的对称点为A（1，0）
设直线AC的解析式为y=mx+n，
∴
，
解得：
，
∴直线AC的解析式为y=3x-3，
直线AC与直线x=2的交点P就是到B、C两点距离之差最大的点，
当x=2时，y=3，
∴点P的坐标为（2，3）．
（3）在x轴上存在这样的点F，使得∠DFB=∠DCB．
抛物线y=-x2+4x-3的顶点D的坐标为（2，1），
设对称轴与x轴的交点为点E，
，
在Rt△DEB中，∵DE=BE=1，
∴∠DBE=45°，
在Rt△OBC中，∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，∵DB=
，BC=3
，
∴tan∠DCB=
=
=tan∠DFB，
∵DE⊥x轴，DE=1，
∴EF=3，
∵点E（2，0），
∴符合题意的点F的坐标为F1（-1，0）或F2（5，0）．
∴平移后的函数图象与x轴两交点坐标为（0，0），（4，0）或（0，0），（-4，0），
∴它的对称轴为直线x=2或x=-2．
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的正半轴交于A、B两点，
∴抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=2对称，
∵它与x轴两交点间的距离为2，且点A 在点B的左侧．
∴其图象与x轴两交点的坐标为A（1，0）、B（3，0）．
由题意知，二次函数y=ax2+bx+c的图象过C（0，-3），
∴设y=ax2+bx-3，
∴
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解得：
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∴二次函数的表达式为y=-x2+4x-3．
（2）∵点B关于直线x=2的对称点为A（1，0）
设直线AC的解析式为y=mx+n，
∴
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解得：
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∴直线AC的解析式为y=3x-3，
直线AC与直线x=2的交点P就是到B、C两点距离之差最大的点，
当x=2时，y=3，
∴点P的坐标为（2，3）．
（3）在x轴上存在这样的点F，使得∠DFB=∠DCB．
抛物线y=-x2+4x-3的顶点D的坐标为（2，1），
设对称轴与x轴的交点为点E，
，在Rt△DEB中，∵DE=BE=1，
∴∠DBE=45°，
在Rt△OBC中，∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，∵DB=
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∴tan∠DCB=
| DB |
| BC |
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∵DE⊥x轴，DE=1，
∴EF=3，
∵点E（2，0），
∴符合题意的点F的坐标为F1（-1，0）或F2（5，0）．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了二次函数的几何变换，解直角三角形及待定系数法的运用，解答本题的关键是数形结合思想的运用，在无法下手求解的时候可先画图，通过图形找灵感，难度较大．
练习册系列答案
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