Question

9．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，若点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，则k=-6．

Answer 1

分析 要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：$\frac{BD}{OC}$=$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，然后用待定系数法即可．

解答 解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC．
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{BD}{OC}$=$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
设A（m，n），则B（-$\sqrt{3}$n，$\sqrt{3}$m），
∵点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴mn=2，
∴-$\sqrt{3}$n•$\sqrt{3}$m=-3×2=-6，
∴k=-6．
故答案为：-6．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B的坐标（用含n的式子表示）是解题的关键．