Question

9．如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=$\frac{4}{7}$，AD=$\sqrt{65}$，CD=13，则线段AC的长为4$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 作∠DAE=∠BAD交BC于E，作AF⊥BC交BC于F，作AG⊥BC交BC于G．根据三角函数设DF=4x，则AF=7x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得到DF=4，AF=7，设EF=y，则CE=7+y，则DE=6-y，在Rt△DEF中，根据勾股定理得到DE=$\frac{13}{3}$，AE=$\frac{26}{3}$，设DG=z，则EG=$\frac{13}{3}$-z，则（$\sqrt{65}$）²-z²=（$\frac{26}{3}$）²-（$\frac{13}{3}$-z）²，依此可得CG=12，在Rt△ADG中，据勾股定理得到AG=8，在Rt△ACG中，据勾股定理得到AC=4$\sqrt{13}$．

解答 解：作∠DAE=∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．
∵∠C+∠BAD=∠DAC，
∴∠CAE=∠ACB，
∴AE=EC，
∵tan∠BAD=$\frac{4}{7}$，
∴设DF=4x，则AF=7x，
在Rt△ADF中，AD²=DF²+AF²，即（$\sqrt{65}$）²=（4x）²+（7x）²，
解得x₁=-1（不合题意舍去），x₂=1，
∴DF=4，AF=7，
设EF=y，则CE=7+y，则DE=6-y，
在Rt△DEF中，DE²=DF²+EF²，即（6-y）²=4²+y²，
解得y=$\frac{5}{3}$，
∴DE=6-y=$\frac{13}{3}$，AE=$\frac{26}{3}$，
∴设DG=z，则EG=$\frac{13}{3}$-z，则
（$\sqrt{65}$）²-z²=（$\frac{26}{3}$）²-（$\frac{13}{3}$-z）²，
解得z=1，
∴CG=12，
在Rt△ADG中，AG=$\sqrt{A{D}^{2}-D{G}^{2}}$=8，
在Rt△ACG中，AC=$\sqrt{A{G}^{2}+C{G}^{2}}$=4$\sqrt{13}$．
故答案为：4$\sqrt{13}$．

点评 考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得到AG和CG的长．