Question

当x分别等于

1

2008

，

1

2007

，

1

2006

，…，

1

2

，1，2，…，2006，2007，2008时，计算代数式

x2

1+x2

的值，再把所得的结果全部加起来．则这个总和为

 

．

Answer 1

分析：本题不可能逐一计算，找出规律是解题的关键，经观察可得，当x的值互为倒数时，代数式的和应为定值，经计算可得

a2

1+a2

+

1

1+a2

=1，故所求代数式的和为2007个1与1个

1

2

的和，故本题得解．

解答：解：当x=a时，

x2

1+x2

=

a2

1+a2

，
当x=

1

a

时，

x2

1+x2

=

1 a2

1+ 1 a2

=

1

1+a2

，
∴当x的值互为倒数时，代数式的和为

a2

1+a2

+

1

1+a2

=1．
∴当x分别等于

1

2008

，

1

2007

，

1

2006

，…，

1

2

，1，2，…，2006，2007，2008时，
代数式的和为：1+1+…+1+

1

2

=2007+

1

2

=2007

1

2

．
故答案为：2007

1

2

．

点评：本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．