Question

16．如图，一条直线y₁=k_lx+b与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于A（1，5）、B（5，n）两点，与x轴交于C点，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求C点坐标；
（3）请直接写出当y₁＜y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将A坐标代入反比例函数解析式中，求出k₂的值，确定出反比例解析式；
（2）将B的坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B的坐标，将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中求出k₁和b的值，确定出直线的解析式，进而求出C点坐标；
（3）根据图象，结合交点坐标即可求解．

解答 解：（1）∵反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象过点A（1，5），
∴k₂=1×5=5，
∴反比例函数的解析式为y₂=$\frac{5}{x}$；

（2）∵反比例函数y₂=$\frac{5}{x}$的图象过点B（5，n），
∴n=$\frac{5}{5}$=1，
∴B（5，1）．
将A（1，5），B（5，1）代入y₁=k_lx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+b=5}\\{5{k}_{1}+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式为y₁=-x+6，
∴C点的坐标是（6，0）；

（3）观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞5时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴当y₁＜y₂时，x的取值范围是0＜x＜1或x＞5．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要求学生能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系．