Question

如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在

AB

上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,二次函数的最值,勾股定理

专题：几何图形问题

分析：由OC=4，点C在

AB

上，CD⊥OA，求得DC=

OC2-OD2

=

16-OD2

，运用S_△OCD=

1

2

OD•

16-OD2

，求得OD=2

2

时△OCD的面积最大，运用阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△OCD的面积求解．

解答：解：∵OC=4，点C在

AB

上，CD⊥OA，
∴DC=

OC2-OD2

=

16-OD2

∴S_△OCD=

1

2

OD•

16-OD2

∴S△OCD2=

1

4

OD²•（16-OD²）=-

1

4

OD⁴+4OD²=-

1

4

（OD²-8）²+16
∴当OD²=8，即OD=2

2

时△OCD的面积最大，
∴DC=

OC2-OD2

=

16-OD2

=2

2

，
∴∠COA=45°，
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△OCD的面积=

45π×42

360

-

1

2

×2

2

×2

2

=2π-4，
故答案为：2π-4．

点评：本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，解题的关键是求出OD=2

2

时△OCD的面积最大．