Question

20．如图，平面直角坐标系中，A（0，10），B（0，5），点C是x轴上一点，点D为OC的中点．
（1）求证：BD∥AC；
（2）若点C在x轴的负半轴上，且BD与AC的距离等于2.5，求点C的坐标；
（3）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求其面积．

Answer 1

分析 （1）由A与B的坐标求出OA与OB的长，进而得到B为OA的中点，而D为OC的中点，利用中位线定理即可得证；
（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标，由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，直角等于斜边的一半求出∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根据OA的长求出x的值，即可确定出C坐标；
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，进而得到DE垂直于OC，再由D为OC中点，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC为等腰直角三角形，求出OC=OA=10，OD=5，即可求得四边形的面积．

解答 解：（1）∵A（0，10），B（0，5），
∴点B为OA的中点，
又点D为OC的中点，
∴BD为△AOC的中位线，
∴BD∥AC；
（2）作BF⊥AC于点F．则BF=2.5，
∵AB=5
∴AB=2BF，
∴∠BAF=30°，
设OC=x，则AC=2x，根据勾股定理得（2x）²=x²+10²
解得$x=±\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$，
∵点C在x轴的负半轴上
∴C（-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，0）；
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，
∴DE⊥OC，
∵点D为OC的中点，
∴OE=CE，
∵OE⊥AC，故∠OCA=45°，
从而OC=OA=10，
∴OD=5，
∴S_{平行四边形ABDE}=5×5=25．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：三角形中位线定理，坐标与图形性质，待平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．