已知.在等腰Rt△ABC中.∠ABC=90°.AB=CB.D为直线AB上一点.连接CD.过C作CE⊥CD.且CE=CD.连接DE.交AC于F．(1)如图1.当D.B重合时.求证:EF=BF．(2)如图2.当D在线段AB上.且∠DCB=30°时.请探究DF.EF.CF之间的数量关系.并说明理由．的条件下.在FC上任取一点G.连接DG.作射线GP使∠DGP=60°.交� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，D为直线AB上一点，连接CD，过C作CE⊥CD，且CE=CD，连接DE，交AC于F．
（1）如图1，当D、B重合时，求证：EF=BF．
（2）如图2，当D在线段AB上，且∠DCB=30°时，请探究DF、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP=60°，交∠DFG的角平分线于点Q，求证：FD+FG=FQ．

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠A=∠ACB=45°和∠EBC=∠E=45°，即可求得∠ACE=∠E和∠ACB=∠EBC，即可解题；
（2）在EF上找到G点使得FG=CF，易证△CFG是等边三角形，可得CG=CF=GF，即可求得∠ECG=∠ACD，即可证明△ECG≌△CDF，可得DF=EG，即可解题；
（3）在FP上找到H点，使得FH=FG，易证△FGH是等边三角形，可得∠GHF=∠FGH=60°，GH=FG=FH，即可求得∠FGD=∠QGH，即可证明△DFG≌△QHG，可得DF=QH，即可解题．

解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵CE⊥CD，CE=CD，
∴∠EBC=∠E=45°，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠E=45°，∠ACB=∠EBC=45°，
∴EF=CF，BF=CF，
∴EF=BF；

（2）解：在EF上找到G点使得FG=CF，如图2，
∵∠BCD=30°，∠ACB=45°，
∴∠ACD=15°，
∴∠CFG=∠CDE+∠ACD=60°，
∵FG=CF，
∴△CFG是等边三角形，
∴CG=CF=GF，∠FCG=60°，
∴∠GCE=90°-15°-60°=15°，
∵在△ECG和△CDF中，

CG=CF

∠ECG=∠ACD

CE=CD

，
∴△ECG≌△CDF，（SAS）
∴DF=EG，
∵EF=EG+GF，
∴EF=DF+CF；
（3）证明：在FP上找到H点，使得FH=FG，如图3，
∵PF平分∠DFG，∴∠PFG=60°，
∵FG=FH，
∴△FGH是等边三角形，
∴∠GHF=∠FGH=60°，GH=FG=FH，
∵∠AFD=∠CDE+∠ACD=60°，
∴∠GHQ=∠DFG=120°，
∵∠FGD+∠DGH=60°，∠DGH+∠QGH=60°，∠QGH=∠DGF，
∴∠FGD=∠QGH，
∵在△DFG和△QHG中，

∠DFG=∠QHG=120°

FG=HG

∠FGH=∠QCH

，
∴△DFG≌△QHG，（ASA）
∴DF=QH，
∵FQ=FH+QH，
∴FQ=FG+FD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ECG≌△CDF和△DFG≌△QHG是解题的关键．