Question

3．如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，EG⊥CF于G且AF=$\frac{1}{4}$AD．
（1）求证：CE平分∠BCF．
（2）求证：$\frac{1}{4}$AB²=CG•FG．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，证出$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，得出△AEF∽△BCE，由相似三角形的性质得出∠AEF=∠BCE，$\frac{EF}{CE}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{BE}{BC}$，证出△ECF∽△BCE，得出∠FCE=∠BCE即可；
（2）由射影定理得：EG²=CG•FG，由AAS证明△BCE≌△GCE（AAS），得出BE=EG=$\frac{1}{2}$AB，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接EF，如图所示：
∵正方形ABCD，E是AB的中点，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=AD=CD=2AE=2BE，
∵AF=$\frac{1}{4}$AD，
∴AE=BE=2AF，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴△AEF∽△BCE，
∴∠AEF=∠BCE，$\frac{EF}{CE}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{BE}{BC}$，
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠AEF=90°，
∴∠FEC=90°=∠B，
∴△ECF∽△BCE，
∴∠FCE=∠BCE，
∴CE平分∠BCF．

（2）证明：∵EG⊥CF，
∴由射影定理得：EG²=CG•FG，
在△BCE和△GCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CGE=90°}&{\;}\\{∠BCE=∠GCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△GCE（AAS），
∴BE=EG=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{1}{4}$AB²=CG•FG．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．