Question

3．如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB，AC上，AD交EF于交点H．
（1）求证：$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）由已知条件易证△AHF∽△ADC，由相似三角形，列出比例关系式，即可证明；
（2）首先求出矩形EFPQ面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积．

解答 解：
（1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，AH是△AEF的高，
∴EF∥BC，
∴△AHF∽△ADC，
∴AH：AD=AF：AC，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=AF：AC，
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$；
（2）解：∵∠B=45°，
∴BD=AD=4，
∴CD=BC-BD=5-4=1．
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABD，
∴AH：AD=EH：BD，
∵EF∥BC，
∴△AFH∽△ACD，
∴AH：AD=HF：CD，
∴EH：BD=HF：CD，
即EH：4=HF：1，
∴EH=4HF，
已知EF=x，则EH=$\frac{4}{5}$x．
∵∠B=45°，
∴EQ=BQ=BD-QD=BD-EH=4-$\frac{4}{5}$x．
S_矩形EFPQ=EF•EQ=x•（4-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+4x=-$\frac{4}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²+5，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．

点评 本题是考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的表达式与最值、矩形、等腰直角三角形等多个知识点，涉及考点较多，有一定的难度．