Question

如图，已知⊙O的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP=10 cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A、B两点同时从点P出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t s．当t=_______时，直线AB与⊙O相切．

Answer 1

0.5s或3.5s.

【解析】

试题分析：首先根据PN与⊙O相切于点Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值；再过点O作OC⊥AB，垂足为C．直线AB与⊙O相切，则△PAB∽△POQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．

试题解析：连接OQ，

∵PN与⊙O相切于点Q，

∴OQ⊥PN，

即∠OQP=90°，

∵OP=10，OQ=6，

∴PQ=8（cm），

过点O作OC⊥AB，垂足为C，

∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，

∴PA=5t，PB=4t，

∵PO=10，PQ=8，

∴

∵∠P=∠P，

∴△PAB∽△POQ，

∴∠PBA=∠PQO=90°，

∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，

∴四边形OCBQ为矩形．

∴BQ=OC．

∵⊙O的半径为6，

∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．

①当AB运动到如图1所示的位置，

BQ=PQ-PB=8-4t，

∵BQ=6，

∴8-4t=6，

∴t=0.5（s）．

②当AB运动到如图2所示的位置，

BQ=PB-PQ=4t-8，

∵BQ=6，

∴4t-8=6，

∴t=3.5（s）．

∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．

考点：切线的性质．