(1)已知:如图1.点C为线段AB上一点.△ACM.△CBN是等边三角形.求证:AN=BM.这时可以证明 .得到AN=BM．(2)如果去掉“点C为线段AB上一点的条件.而是让△CBN绕点C旋转成图2的情形.还有“AN=BM 的结论吗?如果有.请给予证明．(3)如图3.仍保留原题的所有条件.并设AN.BM交于点F.连接CF.请用刻度尺度量BF.CF.NF的大小.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（1）已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，求证：AN=BM，这时可以证明

，得到AN=BM．
（2）如果去掉“点C为线段AB上一点”的条件，而是让△CBN绕点C旋转成图2的情形，还有“AN=BM”的结论吗？如果有，请给予证明．
（3）如图3，仍保留原题的所有条件，并设AN、BM交于点F，连接CF，请用刻度尺度量BF、CF、NF的大小，不难发现：BF=CF+NF，为什么？请给予证明

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）由△ACM和△CBN都是等边三角形，根据等边三角形的边长相等分别得到边长相等，三个内角相等，由∠ACM和∠NCB相等，两边加上∠MCN，得到∠ACN与∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN与三角形MCB全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由△ACM和△CBN都是等边三角形，根据等边三角形的边长相等分别得到边长相等，三个内角相等，由∠ACM和∠NCB相等，两边加上∠MCN，得到∠ACN与∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN与三角形MCB全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．
（3）在BF上截取EF=FN，连接NE，通过平行线和等边三角形先证明∠NFB=60°，进而证得△EFN是等边三角形，得出FN=EN，∠FNE=∠CNB=60°，然后根据等量减等量求得∠FNC=∠ENB，从而求得△FNC≌△ENB，通过三角形全等求得结论；

解答：答：（1）△ACN≌△MCB；
证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，
又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中

AC=MC

∠ACN=∠MCB

CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；

（2）还有“AN=BM”的结论；
证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，
又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，
在△ACN和△MCB中

AC=MC

∠ACN=∠MCB

CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

（3）解：如图3，在BF上截取EF=FN，连接NE，
∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴∠MAC=∠NCB=60°，
∴AM∥CN，
∴∠MAN=∠ANC，
∵由（1）可知△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∴∠MAN=∠MBC，
∵∠NFB=∠FAB+∠MBC，
∴∠NFB=∠FAB+∠MAN=∠MAC=60°，
∵EF=FN，
∴△EFN是等边三角形，
∴FN=EN，∠FNE=∠CNB=60°，
∴∠FNC=∠ENB，
在△FNC与△ENB中

FN=EN

∠FNC=∠ENB

NC=NB

，
∴△FNC≌△ENB（SAS），
∴FC=EB，
∵FB=FE+EB，FN=FE，
∴BF=FN+FC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．