题目内容
2．
如果已知反比例函数y=$\frac{1-2m}{x}$（m为常数）的图象在平面直角坐标系的第一、三象限，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，3），（-2，0）．（1）求出该反比例函数的解析式；
（2）设点P是该反比例函数图象上的一点，且OD=OP
①则所有满足条件的P点坐标为（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；
②若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为4个．
分析 （1）根据平行四边形的性质得AD∥OB，AD=OB=2，易得D点坐标为（2，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得1-2m=6，则反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；
（2）①根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点D关于原点的对称点P满足OP=OD，则此时P点坐标为（-2，-3）；再根据反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象关于直线y=x对称，可得点D（2，3）关于直线y=x对称点P满足OP=OD，此时P点坐标为（3，2），易得点（3，2）关于原点的对称点P也满足OP=OD，此时P点坐标为（-3，-2）；
②由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，所以以D点为顶点可画出点P1，P2；以O点顶点可画出点P3，P4，如图．
解答 
解：（1）∵四边形ABOD为平行四边形，
∴AD∥OB，AD=OB=2，
又∵A点坐标为（0，3），
∴D点坐标为（2，3），
∴1-2m=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$
（2）①∵反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象关于原点中心对称，
∴当点P与点D关于原点对称，则OD=OP，此时P点坐标为（-2，-3），
∵反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象关于直线y=x对称，
∴点P与点D（2，3）关于直线y=x对称时满足OP=OD，
此时P点坐标为（3，2），
点（3，2）关于原点的对称点也满足OP=OD，
此时P点坐标为（-3，-2），
综上所述，P点的坐标为（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；
②由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1，P2，则点P1，P2满足条件；以O点为圆心，OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3，P4，则点P3，P4也满足条件，如图，作线段OD的垂直平分线，与反比例函数的图象无交点．
故答案是：①（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；②4．
点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象的性质和其图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和等腰三角形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
课课优能力培优100分系列答案
优百分课时互动系列答案
如图所示，△ABC∽△ADE，试说明△ABD∽△ACE．| A． | -8 | B． | 10 | C． | -4 | D． | 8 |
在平面直角坐标系中，B点坐标为（x、y），且x、y满足|x+y-8|+（x-y）2=0．
如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BA，DC延长线上的点，且AE=CF，过E作EM⊥BE交AD于点M，过F作FN⊥DF交BC于点N．求证：AM=CN．