Question

12．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）若AE=2，BD=$\sqrt{10}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形判定SAS证明两三角形全等；
（2）由全等和等腰直角三角形得：∠ADE=∠BDA=45°，得出△EDB是直角三角形，分别由勾股定理求出ED和BE的长．

解答 证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠DEA，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DEA=∠ADE=45°，
∴∠BDA=45°，
∴∠EDB=45°+45°=90°，
∴△EDB是直角三角形，
由勾股定理得：ED=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
BE=$\sqrt{D{E}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{10}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定及勾股定理的运用，全等三角形有四种判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；在判定两全等三角形全等时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．