Question

7．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C与点M重合，该直线与AB（或BC）、CD（或DA）分别交于点P、Q
（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹）
（2）如果PQ与AB、CD都相交，试判断△MPQ的形状并证明你的结论；
（3）设AM=x，d为点M到直线PQ的距离，y=d²，
①求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
②当直线PQ恰好通过点D时，求点M到直线PQ的距离．

Answer 1

分析 （1）作线段CM的垂直平分线即可；
（2）由矩形的性质得出AB∥CD，CD=AB=10，得出∠QCO=∠PMO，由折叠的性质得出PQ是CM的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出CQ=MQ，由ASA证明△OCQ≌△OMP，得出CQ=MP，得出MP=MQ即可；
（3）①作MN⊥CD于N，如图2所示：则MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10-x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出（2d）²=6²+（10-x）²，即可得出结果；
②当直线PQ恰好通过点D时，Q与D重合，DM=DC=10，由勾股定理求出AM，得出BM，再由勾股定理求出CM，即可得出结果．

解答 解：（1）如图1所示：
（2）△MPQ是等腰三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD=AB=10，
∴∠QCO=∠PMO，
由折叠的性质得：PQ是CM的垂直平分线，
∴CQ=MQ，OC=OM，
在△OCQ和△OMP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QCO=∠PMO}&{\;}\\{OC=OM}&{\;}\\{∠COQ=∠MOP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCQ≌△OMP（ASA），
∴CQ=MP，
∴MP=MQ，
即△MPQ是等腰三角形；
（3）①作MN⊥CD于N，如图2所示：
则MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10-x，
在Rt△MCN中，由勾股定理得：CM²=MN²+CN²，
即（2d）²=6²+（10-x）²，
整理得：d²=$\frac{1}{4}$x²-5x+34，
即y=$\frac{1}{4}$x²-5x+34（0≤x≤10）；
②当直线PQ恰好通过点D时，如图3所示：
则Q与D重合，DM=DC=10，
在Rt△ADM中，AM=$\sqrt{D{M}^{2}-A{D}^{2}}$=8，
∴BM=10-8=2，
∴CM=$\sqrt{B{C}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴d=$\frac{1}{2}$CM=$\sqrt{10}$，
即点M到直线PQ的距离为$\sqrt{10}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．