Question

7．如图甲，点C将线段AB分成两部分（AC＞BC），如果$\frac{AC}{AB}$=$\frac{BC}{AC}$，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积分别为S₁，S₂（S₁＞S₂）的两部分，如果$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）如图乙，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图丙，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图丁，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB上的一点，（不与A，B重合）过D作DE⊥BC于点E，连接AE，CD相交于点F，连接BF并延长，与DE，AC分别交于点G，H．请问直线BH是直角三角形ABC的黄金分割线吗？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件可以证明AD=CD=BC，由△BCD∽△BCA，得到$\frac{BC}{BD}=\frac{BD}{BC}$，则有$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$，所以点D是AB边上的黄金分割点．
（2）只要证明_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，即可得出直线CD是△ABC的黄金分割线．
（3）只要证明AH=HC，则S_△ABH=S_△CBH，所以BH不是△ABC的黄金分割线．

解答 解：（1）点D是AB边上的黄金分割点．理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD是角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD，
∵∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴BC=CD，
∴BC=AD．
在△BCD与△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$，
∴点D是AB边上的黄金分割点．
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC中，AB边上的高为h，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$ AB•h，S_△ACD=$\frac{1}{2}$ AD•h，S_△BCD=$\frac{1}{2}$ BD•h，
∴S_△ACD：S_△ABC=AD：AB，S_△BCD：S_△ACD=BD：AD，
由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$，
∴S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，
∴CD是△ABC的黄金分割线．
（3）直线BH不是△ABC的黄金分割线．理由如下：
∵DE∥AC，
∴$\frac{DG}{HC}=\frac{FG}{FH}=\frac{GE}{AH}$，$\frac{DG}{AH}=\frac{BG}{BH}=\frac{EG}{HC}$，
∴$\frac{DG}{GE}=\frac{HC}{AH}$，$\frac{DG}{GE}=\frac{AH}{HC}$，
∴$\frac{HC}{AH}=\frac{AH}{HC}$，
∴AH²=HC²，
∴AH=HC，
∴S_△BHA=S_△BHC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴BH不是△ABC的黄金分割线．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、含36°角的等腰三角形、黄金分割、三角形中线的性质等知识点，理解题中给出的黄金分割点、黄金分割线的概念是正确解题的基础，用比例式证明线段相等是解题的关键．