Question

如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x²﹣4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．

（1）请直接写出下列各点的坐标：A　（）　，B　（ ，  ）　，C　（ ， ）　，D　（ ， ）　；

（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．

①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；

②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值．

Answer 1

解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，﹣1），D（0，﹣1）．

 

（2）①设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），由于直线BD经过D（0，﹣1），B（4，3），

∴，

解得，

∴直线BD的解析式为y=x﹣1．（5分）

设点P的坐标为（x，x²﹣4x+3），则点H（x，x﹣1），点G（x，3）．

1°当x≥1且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图①．

∵PH=2GH，

∴（x﹣1）﹣（x²﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，

∴x²﹣7x+12=0，

解得x₁=3，x₂=4．

当x₂=4时，点P，H，G重合于点B，舍去．

∴x=3．

∴此时点P的坐标为（3，0）．        

2°当0＜x＜1时，点G在PH的反向延长线上，如图②，PH=2GH不成立．

3°当x＜0时，点G在线段PH上，如图③．

∵PH=2GH，

∴（x²﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]，

∴x²﹣3x﹣4=0，解得x₁=﹣1，x₂=4（舍去），

∴x=﹣1．此时点P的坐标为（﹣1，8）．

综上所述可知，点P的坐标为（3，0）或（﹣1，8）．     

 

②如图④，令x²﹣4x+3=0，得x₁=1，x₂=3，

∴E（1，0），F（3，0），

∴EF=2．

∴S_△AEF=EF•OA=3．     

∵△KPH∽△AEF，

∴，

∴． 

∵1＜x＜4，

∴当时，s_△KPH的最大值为．

故答案为：（0，3），（4，3），（4，﹣1），（0，﹣1）．