Question

18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+6的图象分别交x、y轴于点A，B，与一次函数Y=kx的图象交于第一象限内的点C．
（1）当∠COB=45°时，求点C的坐标．
（2）当∠COA=∠CAO时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，过C作CD⊥OB于D，分别令x，y为0，即可解得B、A两点坐标，根据三角形相似得到方程，再解方程，即可解得C点的坐标；
（2）如图2，过D作DE⊥OA于E，得到CE∥OB，推出△ACE∽△ABO，得到比例式$\frac{CE}{OB}=\frac{AE}{AO}$，由于∠COA=∠CAO，根据等腰三角形的性质得到AE=OE=$\frac{1}{2}$AO=6，解$\frac{6}{12}$=$\frac{CE}{6}$得到CE=3，于是得到C（6，3），把C（6，3）代入y=kx得，即可得到结果．

解答 解：（1）如图1，过C作CD⊥OB于D，
根据题意，令x=0，解得y=6，
∴B点的坐标为（0，6）；
令y=0，解得x=12，
∴A点的坐标为（12，0）；
∵一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+6的图象与一次函数y=kx交于C，∠COB=45°，
∴OD=CD，
∵CD∥OA，
∴△BCD∽△ABO，
∴$\frac{BD}{OB}=\frac{CD}{OA}$，
∴$\frac{6-CD}{6}=\frac{CD}{12}$，
∴CD=OD=4，
∴C（4，4）；

（2）如图2，过D作DE⊥OA于E，
∴CE∥OB，
∴△ACE∽△ABO，
∴$\frac{CE}{OB}=\frac{AE}{AO}$，
∵∠COA=∠CAO，
∴AE=OE=$\frac{1}{2}$AO=6，
∴$\frac{6}{12}$=$\frac{CE}{6}$，
∴CE=3，
∴C（6，3），
把C（6，3）代入y=kx得，3=6k，
∴k=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了两直线平行或相交问题，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．