Question

19．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF，标出中点M，EF的中点N，连MD，MN．
（1）连接AE．求证：△AFE是等腰三角形；
猜想与发展：
（2）在（1）的条件下，连接MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM、MN的数量关系是相等；
结论2：DM、MN的位置关系是垂直；
（3）如图2，将图1中的直角三角形ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质得：AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF=90°，再根据等腰直角三角形得BE=DF，证明△ABE≌△ADF，得AE=AF，则△AFE是等腰三角形；
（2）先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得：DM=$\frac{1}{2}$AF，再由中位线定理得：MN=$\frac{1}{2}$AE，则DM=MN；再证明∠DMN=∠DAB=90°得DM⊥MN；
（3）结论仍然成立，如图2，同理可得：DM=MN；根据三角形的外角定理证明∠DGE=90°，根据平行线的同位角相等得∠DMN=∠DGE=90°，则MN⊥DM．

解答 证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF=90°，
∵△EFC是等腰三角形，
∴CE=CF，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴△AFE是等腰三角形；
（2）如图1，在Rt△ADF中，∵M是AF的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF，
∵N是EF的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AE，
∵AE=AF，
∴DM=MN，
由（1）得：△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，
∵DM=$\frac{1}{2}$AF=AM，
∴∠FAD=∠ADM，
∵∠FMD=∠FAD+∠ADM=2∠FAD，
∵MN∥AE，
∴∠FMN=∠EAF，
∵∠BAD=∠EAF+∠BAE+∠FAD=∠EAF+2∠FAD=90°，
∴∠DMN=∠FMN+∠FMD=∠EAF+2∠FAD=90°，
∴DM⊥MN，
故答案为：相等，垂直；
（3）结论仍然成立，如图2，连接AE，
同（1）得，△ABE≌△ADF，则AE=AF，∠AFD=∠AEB，
∵M是AF的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF，
∵N是EF的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$AF，MN∥AE，
∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DAE=∠AFD，
∵AM=DM，
∴∠MAD=∠MDA，
∵∠AFD+∠DAM=90°，
∴∠DAE+∠ADM=90°，
∴∠DGE=90°，
∵MN∥AE，
∴∠DMN=∠DGE=90°，
∴MN⊥DM．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形的性质，本题还应用了直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理，要熟练掌握；本题的关键是证明△ABE≌△ADF，从而得出结论．