Question

1．已知AC平分∠MAN，∠MAN=120°．
（1）在图（1）中，若∠ABC=∠ADC=90°，试说明：AB+AD=AC．
（2）在图（2）中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论仍然成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件可证明△ABC≌△ADC，可得到AD=AB，再利用直角三角形的性质可得到AC=2AD，从而可证明结论；
（2）分别过C作CE⊥AN，CF⊥AM，垂足分别为E、F，可化为（1）的情形，利用（1）的方法可证明结论．

解答 （1）证明：
∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°，
在△ABC和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ADC}\\{∠BAC=∠DAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴AD=AB，
在Rt△ABC中，
∵∠CAB=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴AB+AD=AC；
（2）解：结论仍然成立，
证明如下：
如图，分别过C作CE⊥AN，CF⊥AM，垂足分别为E、F，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠CDF=∠CBE，
∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴CE=CF，且∠CAF=60°，
在△BCE和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠CFD}\\{∠CBE=∠CDF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴FD=BE，
∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AD，
同（1）可证得△ACE≌△AFC，
∴AE=AF，
∵∠CAE=60°，
∴∠ACE=30°，
∴AC=2AE，
∴AE+AD=AC，
∴AB+AD=AC．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．