Question

3．已知△ABC、△DCE都是等腰三角形，AC=BC，CD=CE．

（1）若∠ACB=∠DCE=90°，点E在AC上（如图1），直线BE交AD于点F，通过证明△BCE≌△ACD，可得结论：①BE=AD；②∠AFE=90°．
（2）若∠ACB=∠DCE=90°，点E不在AC上（如图2），直线BE交AD于点F，求证：
①BE=AD；②∠AFE=90°．把下面的推理过程补充完成，并在括号内注明理由．
证明：①∵∠ACB=∠DCE=90°（已知），∠ACB=∠BCE+∠ACE，∠ECD=∠ACD+∠ACE
∴∠BCE=∠ACD（同角的余角相等）
又∵BC=AC，CE=CD（已知）∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE=AD（全等三角形对应边相等）
②由①得，∠CBE=∠CAD（全等三角形的对应角相等）
∵∠CBE+∠CGB=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∠CGB=∠AGF（对顶角相等）
∴∠CAD+∠AGF=90°（等量代换）
∵∠AGF+∠CAD+∠AFE=180°（三角形内角和定理 ）∴∠AFE=90°
（3）若∠ACB=∠DCE=70°，AD交BE于点F，①求证：AD=BE；②求∠AFE的度数．

Answer 1

分析 （2）①只要证明△BCE≌△ACD写出理由，即可解决问题；
②利用“8字型”证明∠AFG=∠BCG即可解决问题；
（3）①只要证明△BCE≌△ACD写出理由，即可解决问题；
②利用“8字型”证明∠AFG=∠BCG即可解决问题；

解答 （2）证明：①∵∠ACB=∠DCE=90°（已知），∠ACB=∠BCE+∠ACE，∠ECD=∠ACD+∠ACE
∴∠BCE=∠ACD（同角的余角相等）
又∵BC=AC，CE=CD（已知），
∴△BCE≌△ACD（ SAS）
∴BE=AD（ 全等三角形对应边相等）
②由①得，∠CBE=∠CAD（全等三角形的对应角相等），
∵∠CBE+∠CGB=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∠CGB=∠AGF（ 对顶角相等）
∴∠CAD+∠AGF=90°（等量代换）
∵∠AGF+∠CAD+∠AFE=180°（三角形内角和定理），
∴∠AFE=90°．
故答案为∠BCE=∠ACD，全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等，对顶角相等，三角形内角和定理．

（3）：①设AC交BE于G，
∵∠ACB=∠DCE=70°，
∴∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD（已知），
∴△BCE≌△ACD（ SAS），
∴BE=AD（ 全等三角形对应边相等），

②由①得，∠CBE=∠CAD（全等三角形的对应角相等），
∵∠CGB=∠AGF（ 对顶角相等），
∴∠BCG=∠AFG=70°，
∴∠AFE=180°-70°=110°．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．