Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0,0）、（20,0）、（20,10），在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM＋MN为最小值时，点M的坐标是 ．

 

 

Answer 1

（12，6）.

【解析】

试题分析：先确定点M、N的位置：作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥OB于N，B′N交AC于M．连接OB′，交DC于P，再根据矩形、轴对称、等腰三角形的性质得出PA=PC，那么在Rt△ADP中，运用勾股定理求出PA的长，然后由cos∠B′ON=cos∠OPD，求出ON的长，由tan∠MON=tan∠OCD，求出MN的长，即可得出点M的坐标．

【解析】
如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥OB于N，B′N交AC于M，则B′N=B′M+MN=BM+MN，B′N的长就是BM+MN的最小值．

连接OB′，交DC于P．

∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，

∴∠BAC=∠PCA，

∵点B关于AC的对称点是B′，

∴∠PAC=∠BAC，

∴∠PAC=∠PCA，

∴PA=PC．

令PA=x，则PC=x，PD=20-x．

在Rt△ADP中，∵PA2=PD2+AD2，

∴x2=（20-x）2+102，

∴x=12.5．

∵cos∠B′ON=cos∠OPD，

∴ON：OB′=DP：OP，

∴ON：20=7.5：12.5，

∴ON=12．

∵tan∠MON=tan∠OCD，

∴MN：ON=OD：CD，

∴MN：12=10：20，

∴MN=6．

∴点M的坐标是（12，6）．

故答案为（12，6）．

考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质；矩形的性质．