Question

10．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8，OD⊥AC于E，交⊙O于D，连接BE，则BE的长为（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． 2$\sqrt{13}$
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 作EF⊥AB于点F，利用垂径定理求得OE的长，然后根据三角形的面积公式求得EF的长，进而求得OF的长，再在直角△BEF中利用勾股定理求解．

解答 解：作EF⊥AB于点F．
∵OD⊥AC，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴在直角△AOE中，OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∵S_△OAE=$\frac{1}{2}$OA•EF=$\frac{1}{2}$OE•AE，
∴5EF=3×4，
∴EF=$\frac{12}{5}$．
∴在直角△OEF中，OF=$\sqrt{O{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$．
∴BF=OB+OF=5+$\frac{9}{5}$=$\frac{34}{5}$，
∴在直角△BEF中，BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{34}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
故选B．

点评 本题考查了勾股定理以及三角形的面积公式，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．